发布时间:2021-01-28 编辑:考研派小莉 推荐访问:
2021浙江海洋大学806数学分析研究生考试大纲

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2021浙江海洋大学806数学分析研究生考试大纲正文

806《数学分析》

一、考查目标
1、系统、正确地理解数学分析的基本概念和基本理论,掌握解决数学分析中问题的基本思维方法和证明方法。
2、具有抽象思维能力和逻辑推理能力,掌握熟练的演算技巧,具备初步的应用能力和较强的分析问题和解决问题的综合能力。
二、试卷结构
1、题型结构
填空题(48 分)、计算题(70 分)、证明题(32 分),共计 150 分。
2、内容结构
函数极限与连续性(15%)、一元函数的微积分(40%)、多元函数的微积分(30%)、级数理论(15%)。
三、考试内容及要求
1、实数集与函数
实数:实数概念及性质;绝对值与不等式。
数集确界原理:区间与邻域;有界集与无界集;上确界与下确界,确界原理。
函数概念:函数定义;函数的表示方法;函数的四则运算;复合函数;反函数;初等函
数。
具有某些特征的函数:有界函数,无界函数;单调函数,单调递增(减)函数,严格单
调函数,单调函数与反函数;奇函数与偶函数;周期函数。
2、数列极限
极限概念:数列极限定义,数列的敛散性;无穷小数列。
收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;保不等式性;迫敛性;四则运算;归结原
则。
数列极限存在的条件:单调有界定理;柯西收敛准则。
3、函数极限
函数极限的概念:函数极限的几种形式;左、右极限。
函数极限的性质:唯一性;局部有界性;局部保号性;保不等式性;迫敛性;四则运算  函数极限存在的条件:归结原则;柯西准则。

 

 
两个重要极限:

lim

x®0
sin x x
= 1 ; limæ1 +
x®¥è
1 ö x
÷ e 。
x ø

 

无穷小量与无穷大量:无穷小量与阶的比较、高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷  小量;无穷大量;曲线的渐近线(斜渐近线、水平渐近线与垂直渐近线)。
4、函数连续
函数连续性概念:函数的点连续性、左(右)连续性的概念及相互关系;间断点及类型;   区间上的连续函数。
连续函数的性质:连续函数的局部性质,包括局部有界性、局部保号性、四则运算、复   合函数的连续性;有界闭区间上连续函数的基本性质,包括有界性定理、最值定理、介值性   定理、根的存在定理、一致连续性定理;反函数的连续性。
初等函数的连续性:基本初等函数的连续性;初等函数的连续性。
5、导数与微分
导数概念:导数定义、单侧导数;导函数;导数的几何意义。
求导法则:导数的四则运算;反函数导数;复合函数的导数(链式法则、对数求导法);

 

基本导数法则与公式。 参变量函数的导数。
高阶导数:高阶导数定义;莱布尼茨公式。
微分:微分的概念;微分运算法则;高阶微分;微分在近似计算中的应用。
6、微分中值定理及其应用
拉格朗日中值定理和函数的单调性:罗尔定理与拉格朗日定理;单调函数。  柯西中值定理和不定式极限:柯西中值定理;不定式的极限。
泰勒公式:带有佩亚诺余项的泰勒公式;带有拉格朗日余项的泰勒公式;在近似计算上的应用。
函数的极值与最值:极值判别;最大值与最小值。
函数的凸性与拐点:凸函数与凹函数;严格凸函数与严格凹函数;拐点。  函数作图:函数性态讨论,函数作图的一般步骤。
7、实数完备性
实数完备性基本定理:闭区间套与闭区间套定理;聚点与聚点定理;有限覆盖与有限覆  盖定理;确界定理;单调有界定理;柯西收敛准则;基本定理的等价性。
闭区间上连续函数整体性质:有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致连续性  定理。
上极限与下极限:最小聚点与下极限;最大聚点与上极限。
8、不定积分
不定积分概念与基本积分公式:原函数与不定积分;基本积分表;不定积分的线性运算  法则。
换元积分法与分部积分法:第一换元法与第二换元法;分部积分法。
有理函数和可化为有理函数的不定积分:有理函数的部分分式分解方法,有理函数的积  分;几类可化为有理函数的积分。
9、定积分
定积分的概念:问题的提出;定积分的定义。 牛顿—莱布尼兹公式。
可积条件:可积的必要条件;达布上(下)和;上积分与下积分;可积的充要条件;可  积函数类。
定积分的性质:定积分的基本性质;积分(第一)中值定理。
微积分学基本定理·定积分计算(续):变限积分与原函数的存在性;积分(第二)中值定理;定积分的换元积分法和分部积分法。
10、定积分的应用
微元法;平面图形面积计算;已知平行截面面积求体积;平面曲线弧长与曲率;旋转曲  面的面积;定积分在物理中的某些应用,包括液体静压力、引力、功与平均功率等。
11、反常积分
反常积分概念:无穷限反常积分与收敛的定义;无界函数反常积分(瑕积分)与收敛的  定义。
无穷限反常积分的性质与收敛判别:无穷限反常积分的性质;绝对收敛与条件收敛;比  较法则;柯西判别法;狄利克雷判别法;阿贝尔判别法。
瑕积分的性质与收敛判别:瑕积分的性质;绝对收敛与条件收敛;比较法则;柯西判别  法;狄利克雷判别法;阿贝尔判别法。
12、数项级数
级数的敛散性:数项级数的敛散性概念;级数收敛的柯西收敛准则,收敛级数的若干性

 

质。
正项级数:正项级数收敛性的一般判别原则;比式判别法与根式判别法;积分判别法与
拉贝判别法。
一般项级数:交错级数与莱布尼兹判别法;绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质;阿  贝尔判别法与狄利克雷判别法。
13、函数列与函数项级数
一致收敛性:函数列及其一致收敛性概念与判别法;函数项级数及其一致收敛概念与判  别法。
一致收敛的函数列与函数项级数的性质:连续性;可微(导)性;可积性。
14、幂级数
幂级数:幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域;幂级数的性质;幂级数和函数的连续  性、可微性、可积性。
函数的幂级数展开:泰勒级数(麦克劳林级数);几种常见初等函数的幂级数展开。欧拉公式.
15、傅里叶级数
傅里叶级数:三角函数与正交函数系;傅里叶级数与傅里叶系数;以 2p为周期函数的傅里叶级数;收敛定理;周期延拓;奇延拓与偶延拓;正弦级数与余弦级数。
以 2l 为周期的函数的展开式:以2l 为周期的函数的傅里叶级数;奇函数与偶函数的傅里叶级数。
收敛定理的证明。
16、多元函数极限与连续
平面点集与多元函数:平面点集的基本概念,包括邻域、内点、外点、界点、聚点、孤  立点、开集、闭集等;平面点集的完备性定理;二元函数的定义;多元函数的定义。
二元函数的极限:二元函数极限概念;二元函数极限计算与存在性判别法;累次极限;  累次极限与重极限的关系。
二元函数的连续性:二元函数连续性概念及其性质;全增量与偏增量;有界闭域上连续  函数的整体性质。
17、多元函数的微分学
可微性:可微性与全微分;偏导数;可微性条件;切平面的定义与可微的几何意义,全  微分应用与近似计算。
多元复合函数微分法:多元复合函数求导法则;链式法则;多元复合函数的全微分与一  阶微分的形式不变性。
方向导数与梯度。
泰勒定理与极值问题:高阶偏导数;多元函数的中值定理与泰勒公式;极值问题;黑赛
(Hesse)矩阵。
18、隐函数定理及其应用
隐函数:隐函数概念;隐函数存在性与可微性定理;反函数存在定理。
隐函数组:隐函数组定理;反函数组与坐标变换;雅可比(Jacobi)行列式。
隐函数(组)定理的应用:平面曲线的切线与法线;空间曲线的切线与法平面;曲面的切平面与法线。
条件极值与拉格朗日乘数法。
19、含参量积分
含参量正常积分:含参量正常积分的概念;连续性、可微性与可积性。
含参量反常积分:一致收敛性及其判别法;含参量反常积分的性质(连续性、可微性与


可积性)。
欧拉积分: G 函数及其性质; B 函数及其性质。
20、曲线积分
第一型曲线积分:第一型曲线积分的定义及其性质、计算。 第二型曲线积分:第二型曲线积分的定义及其性质、计算。 两类曲线积分的联系。
21、重积分
二重积分概念:平面图形的面积;二重积分的定义及其存在性;二重积分的性质。  二重积分的计算:二重积分与累次积分;换元积分法(极坐标变换与一般变换)。格林公式;曲线积分与路径无关性。
三重积分:三重积分的概念;三重积分计算、三重积分与累次积分;三重积分换元积分  法:柱坐标变换,球坐标变换与一般坐标变换。
重积分应用:曲面的面积;重心坐标;转动惯量。
22、曲面积分
第一型曲面积分:第一型曲面积分的概念与计算。
第二型曲面积分:曲面的侧;第二型曲面积分的概念与计算。 高斯公式与斯托克斯公式。
场论初步:场的概念;梯度场;散度场;旋度场。 四、推荐书目:
1、华东师范大学数学系,数学分析.第 4 版[M],高等教育出版社,2010


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