2021浙江海洋大学泛函分析研究生复试考试大纲

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    泛函分析

 

    一、考查目标

 

    泛函分析是数学专业的基础课。它形成于20世纪30年代，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。泛函分析可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析，是学习现代数学必不可少理论基础，为学习现代数学，特别是偏微分方程，概率论，计算数学等学科分支提供了强有力的研究方法。

 

    二、试卷结构

 

    1、题型结构

 

    名词解释（30分）、简答题（30分）、证明题（40分），共计100分。

 

    4、内容结构

 

    度量空间和赋范线性空间（25%）、有界线性算子和连续线性泛函（15%）、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间（25%）、巴拿赫空间中的基本定理（20%）、线性算子的谱（15%）。

 

    三、考试内容和要求

 

    1、度量空间和赋范线性空间

 

    度量空间定义及例子，度量空间中的极限、稠密集、可分空间，连续映射，完备度量空间，压缩映射原理及其应用，赋范线性空间和巴拿赫空间定义与例子。

 

    2、有界线性算子和连续线性泛函

 

    有界线性算子和连续线性泛函的定义与例子；有界线性算子空间和共轭空间的定义与例子。

 

    3、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间

 

    内积空间的定义与例子，投影定理，希尔伯特空间中的规范正交系，希尔伯特空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。

 

    4、巴拿赫空间中的基本定理

 

    泛函延拓定理及其应用，C[a，b]的共轭空间，共轭算子，纲定理和一致有界性定理，强收敛、弱收敛和一致收敛的定义及例子，逆算子定理，闭图像定理

 

    5、线性算子的谱

 

    谱的概念及例子，有界线性算子谱的基本性质，紧集和全连续算子的谱，自伴全连续算子的谱论。

 

    四、推荐书目：

 

    1、程其襄，张奠宙，魏国强等编著，《实变函数与泛函分析基础，第三版》，高等教育出版社，2010.

 

    2、汪林编著，《泛函分析中的反例》,高等教育出版社，2014.