2022中国地质大学(北京)高等数学硕士研究生考研考试大纲与参考书目

本门课程考试的内容为一元微积分学、常微分方程。注重考察考生对高等数学的基本理论和基本方法的掌握，评价标准是使高校优秀本科毕业生能达到及格或及格以上水平。 

1. 答卷方式：闭卷、笔试 2. 答卷时间：180分钟  

题型比例：满分150分，填空题与选择题约30%；解答题（包括证明）约70％ 

（一）函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及函数的性质 复合函数、反函数、隐函数和分段函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 　　1、 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会作函数符号运算并会建立应用问题的函数关系式。 　　2、 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 　　3、 理解复合函数和分段函数的概念、了解反函数和隐函数的概念。 　　4、 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 　　5、 理解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 　　6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限，理解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 8、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 （二）一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线及其方程 基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 罗尔定理（Rolle）、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理、 泰勒（Taylor）定理 洛必达（L′Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率半径 考试要求 1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量。 2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。 3、了解高阶导数的概念，会求一些简单函数的高阶导数。 4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 　 5、理解微分的概念以及导数与微分之间的关系，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 　　6、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。 　　7、掌握利用洛必达法则求未定式极限的方法。 　　8、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 　　9、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 　　10、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 （三）一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用 考试要求 1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。 2、理解定积分的概念，掌握定积分的性质和定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。 4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。 5、了解反常积分的概念，会计算反常积分。 6、掌握用定积分表达和计算的一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力）及函数的平均值。 （四）常微分方程 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的一些简单应用 考试要求 1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。 2、2、掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程和伯努利方程.。 3、会用降阶法解下列形式的微分方程： ， ， . 4、理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。 5、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 6、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。 7、会用微分方程解决一些简单的应用问题。 

《高等数学》，同济大学数学系编，高等教育出版社，第七版； 《高等数学习题集》 ，同济大学应用数学系编，高等教育出版社。