2021内蒙古师范大学高等代数专业研究生考研考试大纲

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2021内蒙古师范大学高等代数专业研究生考研考试大纲正文

一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟．
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试．
三、试卷题型
计算题（50%）证明题（50%）.
四、考试内容及要求
（一）考试内容：
1. 多项式理论
多项式的整除关系；多项式的最大公因式性质、求法及证明；多项式的互素关系；多项式的可
约性判别；多项式有无重因式的判别；多项式的根理论；与矩阵有关的多项式问题.
2. 行列式 n 阶行列式的定义、性质、计算及应用.
3. 矩阵
矩阵的运算（包括矩阵的线性运算、乘积运算、幂运算、转置运算、逆运算、方阵的行列式运
算等）；分块矩阵及其运算；伴随矩阵、矩阵可逆性的判别及逆矩阵的求法；矩阵的秩（定义、求
法、矩阵的秩的等式或不等式的证明）；矩阵的初等变换及其应用；矩阵的特征多项式、特征值、
相似矩阵、矩阵的对角化；矩阵的分解（包括矩阵的和式分解、乘积分解）；特殊矩阵（包括单位
矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、初等矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、正定矩阵、
对合矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵）的性质等.
4. 线性方程组
线性方程组有解的判别；会用 Cramer 法则和初等变换法求解线性方程组；齐次线性方程组的基
础解系、解空间和通解的求法；非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间关系.
5. 线性空间与线性变换
线性空间的定义与性质；向量组的线性相关性及其判别；向量组的极大线性无关组的求法；线
性空间的基与维数的求法；基变换与坐标变换及过渡矩阵的求法；子空间的性质、生成及判别；交
空间与和空间的基与维数的求法；子空间直和的证明；线性空间同构的定义、性质及判别；两个线
性空间之间的同构映射的建立等.
6. 线性变换
线性变换的定义、运算与性质；线性变换与矩阵的关系；线性变换的像空间与核空间的性质及
其求法；不变子空间的证明；线性变换的特征值与特征向量的性质及求法；相似矩阵的性质及判别；
线性变换可以对角化（矩阵可以对角化）的判别；求线性空间的一组基，使得线性变换关于这组基
的矩阵为对角形矩阵等.
7. 欧氏空间与线性变换
欧氏空间中向量的内积、长度、夹角、距离的性质与计算；正交组与标准正交组的性质；施密
特正交化过程；欧氏空间同构的判别；正交变换（正交矩阵）的性质及判别；对称变换（对称矩阵）
的性质及判别；子空间的正交补的性质及证明.
8. 二次型
二次型及其矩阵表示；二次型等价（矩阵合同）的性质及判别；二次型的标准形、规范形的求
法（包括配方法、合同变换法、正交变换法）；正定二次型（正定矩阵）、负定二次型（负定矩阵）、
半正定二次型（半正定矩阵）、半负定二次型（半负定矩阵）的性质及其判别等.
（二）考试要求
在熟练掌握高等代数的基本理论、基本方法的基础上，理解各知识点之间的内在联系，掌握一
定的解题技巧，会运用这些基本知识、基本方法去分析和解决综合性的问题.
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