2021内蒙古师范大学数学分析专业研究生考研考试大纲

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2021内蒙古师范大学数学分析专业研究生考研考试大纲正文

一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟．
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试．
三、试卷题型结构
以解答题（包括计算题、证明题、应用题）为主，单选题和填空题为辅的题型结构。
四、考试内容 1．极限理论
数列极限与函数极限的分析定义，极限的思想和方法，求数列极限与函数极限的常用方法，数
列极限与函数极限的关系，即海涅（Heine）定理，无穷小量与无穷大量的概念及其关系，无穷小量
与无穷大量的阶的比较以及无穷小分析的有关问题等等。
2．函数的连续性与实数基本定理
与函数的连续性有关的一系列问题，如连续的三要素，初等函数的连续性，间断点的类型，连
续函数的局部性质，连续函数的整体性质（即闭区间上连续函数的几个重要性质），一致连续性等，
实数基本定理（确界存在定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、完备性定理（即 Cauchy
收敛原理）、有限覆盖定理、聚点原理）的内容以及利用实数基本定理解决问题的常用方法。
3．一元函数微分学
导数与微分的定义，导数的求法，可导、可微、连续三者之间的关系以及导数的两个重要特征
（1°导数没有第一类间断点；2°导数的介值性——达布（Darboux）定理），费尔马（Fermat）定
理，罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）
公式以及利用导数（包括高阶导数）研究函数的各种性态（如函数的单调性、极值、最值、凹凸性、
拐点、不等式问题、大小比较问题等等）的常用方法。
4．一元函数积分学
原函数与不定积分的概念，常用的积分公式，可积准则与三类可积函数，牛顿—莱布尼兹公式，
求不定积分与计算定积分的常用方法：如利用积分的线性性质，利用换元积分法，利用分部积分法，
利用有理函数化为最简分式法，利用无理函数的几种有理化处置法，利用三角函数的几种常用替换
法和万能代换等，积分中值定理，与积分上限函数的分析性质有关的一系列问题以及积分估值问题，
定积分的应用。
5．多元函数微分学
多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分以及方向导数的概念，多元函数的连续性、可偏导
性、可微性三个分析性质之间的关系，并与一元函数的相关情形进行比较，多元复合函数求偏导数
的链锁规则，多元函数可微的充分条件和必要条件，隐函数存在定理以及多元微分学的应用（如空
间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值与条件极值等）。
6．多元函数积分学
二重积分的计算方法（直角坐标系下二重积分的计算和二重积分的极坐标变换），三重积分的
计算方法（直角坐标系下三重积分的计算和三重积分的柱面坐标变换与球面坐标变换），曲线积分
与曲面积分的计算方法（包括第一类、第二类曲线积分的计算与第一类、第二类曲面积分的计算），
格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，各种积分间的换算关系，曲
线积分与路径无关的条件以及多元积分的应用。
7．级数理论
考试内容主要包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶（Fourier）级数四个部分。数项级
数部分的考试内容为数项级数敛散性的定义与判别法，正项级数敛散性的常用判别法以及交错级数
收敛性的莱布尼兹（Leibniz）判别法。函数项级数部分的考试内容为函数项级数或函数列的一致收
敛性以及与一致收敛性有关的一系列问题，如证明一致收敛与证明不一致收敛的常用方法，一致收
敛的函数项级数的和函数（或一致收敛的函数列的极限函数）的各种分析性质等。幂级数部分的考
试内容为幂级数的收敛半径、收敛域、内闭一致收敛性、和函数的分析性质以及函数的幂级数展开
等。Fourier 级数部分的考试内容为利用 Euler-Fourier 公式求周期函数的 Fourier 系数，周期函
数的 Fourier 级数展开（包括函数的正弦级数展开和余弦级数展开），Fourier 级数的收敛性定理，
Fourier 级数的收敛性判别法以及 Riemann 引理、Dirichlet 积分等。
8．反常积分与含参变量积分
无穷限的反常积分与无界函数的反常积分的敛散性的概念，含参变量正常积分的概念与含参变
量反常积分一致收敛的概念，无穷限的反常积分与无界函数的反常积分收敛性的几种常用判别法，
含参变量正常积分的几个分析性质（如连续性、可微性、可积性）以及与含参变量反常积分的一致
收敛性有关的一系列问题。
五、考试要求
数学分析课程的内容体量大、覆盖面广，要求考生掌握好考试内容中前面提到的八大块内容的
同时，理解与掌握知识点之间的横向联系和纵向联系，形成知识网络，能够做到不同板块知识点之
间的互相渗透和互相交融。
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