2021华侨大学高等代数研究生考试大纲

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    华侨大学硕士研究生招生考试

    初试自命题科目考试大纲

    招生学院：数学科学学院招生专业：数学

    科目名称：高等代数

    一、考试形式与试卷结构

    （一）试卷满分值及考试时间

    本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

    （二）答题方式

    答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。

    （三）试卷内容结构

    考试内容主要包括矩阵理论，包含行列式、矩阵的相抵、相似、合同分类(30%)；线性方程组(10%)；线性空间(15%)；线性映射(25%)；多项式(20%)。

    （四）试卷题型结构

    1.计算题（60分），共4-6道；

    2.证明题（90分），共5-7道。

    二、考查目标

    课程考试的目的在于测试考生对于《高等代数》的基本概念、基本知识、基础方法的掌握情况以及综合运用（线性）代数技巧研究代数对象的结构和表示的能力。

    三、考查范围或考试内容概要

    第一部分矩阵理论

    1.矩阵的行列式

    行列式的定义与计算；拉普拉斯（Laplace）定理；范德蒙德行列式

    2.矩阵的运算

    矩阵的乘法的基本性质，包括乘法与迹、转置、行列式的关系；可逆矩阵的性质与计算

    3.矩阵的相抵分类

    初等变换；矩阵秩的定义及性质；矩阵相抵的充要条件

    4.矩阵的相似分类

    矩阵的特征值与特征向量；相似的不变量（包含行列式因子、不变因子、初等因子组）；特征多项式与极小多项式；矩阵可对角化；正交矩阵与正交相似；斯密特（Schmidt）正交化过程；计算复矩阵的约当（Jordan）标准形

    5.矩阵的合同分类

    二次型的标准形和规范形；实二次型的惯性定理；正定矩阵

    第二部分线性方程组

    1.向量组

    （列）向量的线性关系；向量组的极大线性无关组与秩

    2.线性方程组

    高斯（Gauss）消元法；线性方程组解的结构；克莱姆（Gram）法则

    第三部分线性空间

    1.一般线性空间

    线性空间的公理定义；线性空间的基与维数；线性空间的同构；子空间的维数定理；子空间的直和

    2.具有几何结构的线性空间

    欧式空间；柯西（Cauchy）不等式；斯密特（Schmidt）正交化与标准正交基

    第四部分线性映射

    1.线性映射与矩阵的关系

    线性映射的基本性质；线性映射在不同基下的（表示）矩阵；双线性映射的度量矩阵

    2.线性映射的结构

    线性映射的维数定理；线性变换的不变子空间

    3.线性映射与矩阵相似分类的进一步联系

    Jordan标准形对应的不变子空间分解（根子空间分解和循环子空间分解）；Jordan-Chevalley分解定理

    第五部分多项式

    1.多项式的基本性质

    多项式的度；带余除法；最大公因式；互素

    2.多项式的结构

    唯一分解定理；重因式与重根；多项式函数

    3.不可约多项式

    代数基本定理；实数域上的不可约多项式；本原多项式的唯一分解定理；艾森斯坦（Eisenstein）判别法；整系数多项式的有理根

    四、参考教材或主要参考书：

    《高等代数》，林亚南编著，高等教育出版社，2013年.

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