2021湖南理工学院近世代数研究生考试大纲

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2021湖南理工学院近世代数研究生考试大纲正文

2021年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲（加试）
 
加试科目名称: 近世代数
一、考核目标
（一）考查考生理解近世代数的基本概念和基本方法，提高数学修养与技巧，以便能深入理解中学代数的内容和方法。
（二）考查考生抽象思维能力、逻辑推理能力，掌握现代数学的思维方法，解决现实世界中的实际问题。
二、试卷结构
（一）考试时间：120分钟，满分：100分
（二）题型结构
一、单项选择题，20分；
二、填空题，30分；
三、解答题（包括证明题），50分。
三、 答题方式
答题方式为闭卷 笔试
四、考试内容与考试要求
1．基本概念
考试内容
单(满)射的概念与刻画，代数运算的概念与算律，等价关系与集合分类的概念与相互关系.
考试要求
（1）理解单(满)射的概念，掌握单(满)射的刻画．
（2）理解代数运算的概念，了解代数运算的算律.
（3）理解等价关系与集合分类的概念，了解它们的相互关系．
2. 群
考试内容
半群，群，元素的阶，循环群，变换群，置换群，子群，子群的陪集，正规子群，
商群，同态基本定理与同构定理．
考试要求
（1）理解半群，群的概念．掌握群的刻画．
（2）理解元素阶的概念．掌握元素阶的性质与刻画．
（3）理解循环群的概念．掌握循环群的性质与结构．
（4）了解变换与变换群的概念．理解置换与置换群的概念．掌握置换的表示方法．会计算置换的乘法．理解 Cayley 定理．
（5）理解子群的概念．掌握子群的性质与刻画．
（6）理解子群的左（右）陪集的概念，性质与刻画．了解群的左（右）陪集分解．掌握 Lagrange 定理．
（7） 理解正规子群的概念．掌握正规子群的刻画．理解正规子群与商群的关系．
（8）掌握同态基本定理．理解同构定理．
3. 环与域
考试内容
环的概念，子环，理想与商环，同态基本定理，同构定理，素理想与极大理想，商域，多项式环.
考试要求
（1）理解环的概念. 了解整环，除环，域，特征等概念.
（2）理解子环的概念. 了解子环的性质与刻画.
（3）理解理想与商环的概念. 掌握环的同态基本定理. 了解环的同构定理.
（4）理解素理想与极大理想的概念. 理解素理想与极大理想的刻画.
（5）理解商域的概念. 了解商域的性质.
（6）理解交换环上多项式环的概念与性质.
4. 整环里的因子分解
考试内容
不可约元，素元，最大公因子，唯一分解环，主理想环、欧氏环.
考试要求
（1）理解整环上不可约元，素元，最大公因子的概念，了解不可约元与素元的关系.
（2）理解唯一分解环的概念. 了解唯一分解环的性质与刻画.
（3）理解主理想环的概念. 了解主理想环的性质. 了解唯一分解环与主理想环的关系.
（4）理解欧氏环的概念. 了解欧氏环的性质. 了解主理想环与欧氏环的关系.
 
五、主要参考书目
[1] 张禾瑞遍，近世代数基础，高等教育出版社，1997年修订本.
[2] 朱平天，李伯葓，邹园编，近世代数（第二版），科学出版社，2009.
 

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