2021贵州师范大学858高等数学专业研究生考试大纲

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2021贵州师范大学858高等数学专业研究生考试大纲正文

一、考查目标
本考试大纲要求考生掌握高等数学课程的基本概念、基本理论、基本数学思想和方法，以及简单的应用。

二、考试形式与试卷结构
（一）试卷满分及考试时间
本试卷满分为150分。考试时间为180分钟。
（二）答题方式
闭卷，笔试。
（三）试卷内容结构与所占分值
微分学          约占30%
积分学          约占30%
微分方程        约占15%
空间解析几何    约占10%
无穷级数        约占15%
（四）试卷题型结构
选择题，填空题，计算题，证明题，应用题

三、考查范围
一.微分学
1.函数、极限与连续
1.1考试内容
函数概念及其表示法，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数；数列极限，函数极限，极限运算法则；无穷小与无穷大量，无穷小的比较；极限存在准则及两个重要极限；函数的连续性，函数的间断点，初等函数的连续性，闭区间上函数连续的性质。
1.2考试要求
(1) 理解函数、反函数和复合函数等相关概念,理解基本初等函数的性质及图形,了解函数的单调性、周期性、奇偶性等。
(2) 了解数列极限的的定义与函数的定义。
(3) 掌握数列极限与函数极限的计算。
(4) 了解函数单侧极限及极限存在条件。
(5) 掌握无穷小量与无穷大量以及无穷小量的比较。　　
(6) 理解极限存在的两个准则(夹逼准则和单调有界准则)。
(7) 掌握两个重要极限。
(8) 理解函数的连续性与间断点。
(9) 掌握闭区间上连续函数的性质。
2.导数与微分
2.1考试内容
导数概念，函数求导法则及其导数基本公式，高阶导数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，函数微分的概念，基本初等的微分及微分运算法则；
2.2考试要求
(1) 理解导数定义及其几何意义，了解导数的一些几何背景和物理背景。
(2) 掌握导数基本公式、求导法则及其求导。
(3) 了解微分定义及其意义。
(4) 了解函数可导、可微与连续间的关系。
(5) 掌握复合函数求导法则、参数方程和隐函数的一阶导数。
(6) 理解高阶导数的求导法则。
3. 中值定理与导数的应用
3.1考试内容
洛尔定理，拉格朗日中值定理，罗必塔法则，函数单调性的判定法，函数极值、最大值与最小值及其求法，曲线的凹凸与拐点，函数图形的作法。
3.2考试要求
(1) 理解洛尔定理、拉格朗日中值定理及其几何意义，掌握拉格朗日中值定理以及应用。
(2) 掌握洛必塔法则。
(3) 掌握函数单调性的判定。
(4) 理解曲线凹凸性与拐点。
(5) 掌握函数的极值、最大值和最小值的求法。
4.多元函数微分
4.1考试内容
多元微分学的基本概念、理论；二元函数的极限、偏导数、全微分的概念和计算。
4.2考试要求
(1) 理解二元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
(2) 理解偏导数的概念。
(3) 掌握偏导数的计算。
(4) 了解全微分及其应用。

二．积分学
1.不定积分
1.1考试内容
原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义，不定积分的性质，不定积分的基本积分公式，不定积分的直接积分法、第一类换元积分法与分部积分法。
1.2考试要求
(1) 理解原函数和不定积分的概念。
(2) 掌握不定积分的基本性质。
(3) 掌握基本积分公式。
(4) 掌握不定积分的第一类换元积分法与分部积分法。
(5) 了解一些特殊类型函数的不定积分方法。
2.定积分
2.1考试内容
定积分的概念及其思想，定积分的性质，变上限积分函数的概念以及变上限积分函数的导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的第一类换元积分法与分部积分法，广义积分的概念。
2.2考试要求
(1) 了解定积分的概念与性质以及定积分的几何意义。
(2) 理解变上限积分函数，掌握变上限积分函数的导数。
(3) 掌握牛顿-莱布尼兹公式。
(4) 掌握积分的计算以及定积分的第一类换元法和分部积分法。
(5) 了解广义积分。
3.定积分的应用
3.1考试内容
定积分的微元法，定积分的微元法求解实际应用问题。
3.2考试要求
(1) 理解定积分的微元法。
(2) 掌握利用定积分求平面图形的面积。
4. 重积分
4.1考试内容
重积分的概念，重积分的性质，二重积分与三重积分的计算。
4.2考试要求
(1) 理解二重积分的概念与性质及其二重积分的几何意义。
(2) 掌握直角坐标系下二重积分的计算。
(3) 了解三重积分的概念与性质。

三．常微分方程
1.考试内容
微分方程的一些基本概念，简单的一阶微分方程、二阶常系数线性微分方程的基本求解方法，会运用微分方程的知识求解一些简单的应用问题。
2.考试要求
(1) 理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件、特解、初值问题等概念。(2) 掌握可分离变量的微分方程及其解法。
(3) 掌握一阶线性微分方程及其基本求解方法。
(4) 了解可降阶的二阶微分方程。
(5) 了解二阶线性微分方程解的结构。
(6) 掌握二阶常系数齐次线性微分方程及其解法。

四．空间解析几何与向量代数
1.考试内容
空间直角坐标系，向量的概念及其运算；平面方程与直线方程的求法；两个向量垂直、平行的条件；单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式及用坐标表达式进行向量运算的方法；空间曲线与曲面方程的概念。
2.考试要求
(1) 了解空间直角坐标系、向量的坐标，理解向量及其线性运算。
(2) 掌握向量的加减法、数乘向量、数量积、向量积以及混合积等运算。
(3) 掌握空间直线方程与平面方程的求法。
(4) 理解空间曲线的方程的意义，空间曲线在坐标平面上的投影以及二次曲面。
(5) 了解曲面与方程，旋转曲面，柱面。

五．无穷级数
1.考试内容
无穷数项级数及其相关概念，一般数项级数敛散性的判断，收敛级数的基本性质，几何级数、P级数、调和级数、正项级数与交错级数的敛散性，绝对收敛域条件收敛；函数项级数及其相关概念，幂级数，函数展开成幂级数，傅里叶级数的形式和系数公式，会将函数展开成傅里叶级数。
2.考试要求
(1) 理解无穷数项级数收敛、发散以及和的概念，无穷数项级数收敛的必要条件，掌握无穷级数的基本性质及其收敛性的判断。
(1) 掌握几何级数和P级数的收敛性的判断。
(2) 掌握正项级数的比较审敛法与比值审敛法。
(3) 掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
(4) 了解无穷数项级数绝对收敛与条件收敛的关系。
(5) 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
(6) 掌握较简单的幂级数的收敛半径、收敛区间及其收敛域的求法。
(7) 掌握 和的麦克劳林展开式。
主要参考书
同济大学数学主编.高等数学（第七版）.高等教育教出版社，2014.6

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