发布时间:2020-11-18 编辑:考研派小莉 推荐访问:
2021华侨大学高等代数研究生考试大纲

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2021华侨大学高等代数研究生考试大纲正文

    华侨大学硕士研究生招生考试
    初试自命题科目考试大纲
    招生学院:数学科学学院招生专业:数学
    科目名称:高等代数
    一、考试形式与试卷结构
    (一)试卷满分值及考试时间
    本试卷满分为150分,考试时间为180分钟。
    (二)答题方式
    答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。
    (三)试卷内容结构
    考试内容主要包括矩阵理论,包含行列式、矩阵的相抵、相似、合同分类(30%);线性方程组(10%);线性空间(15%);线性映射(25%);多项式(20%)。
    (四)试卷题型结构
    1.计算题(60分),共4-6道;
    2.证明题(90分),共5-7道。
    二、考查目标
    课程考试的目的在于测试考生对于《高等代数》的基本概念、基本知识、基础方法的掌握情况以及综合运用(线性)代数技巧研究代数对象的结构和表示的能力。
    三、考查范围或考试内容概要
    第一部分矩阵理论
    1.矩阵的行列式
    行列式的定义与计算;拉普拉斯(Laplace)定理;范德蒙德行列式
    2.矩阵的运算
    矩阵的乘法的基本性质,包括乘法与迹、转置、行列式的关系;可逆矩阵的性质与计算
    3.矩阵的相抵分类
    初等变换;矩阵秩的定义及性质;矩阵相抵的充要条件
    4.矩阵的相似分类
    矩阵的特征值与特征向量;相似的不变量(包含行列式因子、不变因子、初等因子组);特征多项式与极小多项式;矩阵可对角化;正交矩阵与正交相似;斯密特(Schmidt)正交化过程;计算复矩阵的约当(Jordan)标准形
    5.矩阵的合同分类
    二次型的标准形和规范形;实二次型的惯性定理;正定矩阵
    第二部分线性方程组
    1.向量组
    (列)向量的线性关系;向量组的极大线性无关组与秩
    2.线性方程组
    高斯(Gauss)消元法;线性方程组解的结构;克莱姆(Gram)法则
    第三部分线性空间
    1.一般线性空间
    线性空间的公理定义;线性空间的基与维数;线性空间的同构;子空间的维数定理;子空间的直和
    2.具有几何结构的线性空间
    欧式空间;柯西(Cauchy)不等式;斯密特(Schmidt)正交化与标准正交基
    第四部分线性映射
    1.线性映射与矩阵的关系
    线性映射的基本性质;线性映射在不同基下的(表示)矩阵;双线性映射的度量矩阵
    2.线性映射的结构
    线性映射的维数定理;线性变换的不变子空间
    3.线性映射与矩阵相似分类的进一步联系
    Jordan标准形对应的不变子空间分解(根子空间分解和循环子空间分解);Jordan-Chevalley分解定理
    第五部分多项式
    1.多项式的基本性质
    多项式的度;带余除法;最大公因式;互素
    2.多项式的结构
    唯一分解定理;重因式与重根;多项式函数
    3.不可约多项式
    代数基本定理;实数域上的不可约多项式;本原多项式的唯一分解定理;艾森斯坦(Eisenstein)判别法;整系数多项式的有理根
    四、参考教材或主要参考书:
    《高等代数》,林亚南编著,高等教育出版社,2013年.

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