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2021天津理工大学数学分析专业研究生考试大纲和参考书目正文
天津理工大学2021年硕士研究生入学初试考试大纲学院(盖章): 理学院
考试科目名称:数学分析
一、考试方式 考试采用笔试方式。考试时间为180分钟,试卷满分为150分. 二、 试卷结构与分数比重 试卷共分为四部分 一、 填空题(约10%) 二、 选择题(约15%) 三、 计算题(约40%) 四、 证明题(约35%) 三、考查的知识范围 第二章 极限与连续 1、数列的极限。2、函数的根限。 3、函数的连续性。4、无穷小与无穷大。 基本要求: (1)掌握极限的定义,会用ε——N,ε—δ语言证明极限存在。 (2)会求极限,掌握关于极限的性质。 (3)掌握函数连续的概念,会判断函数的连续性,会判断间断点及类型,熟悉连续函数的运算性质和局部性质。 (4)会比较无穷小的阶,并会使用等价无穷小求极限。 (5)熟悉闭区间上连续函数的性质。 第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 1、实数连续性的基本定理。 2、闭区间上连续函数性质的证明。 基本要求: (1)熟悉六个实数连续性定理的条件与结论,这六个定理是:单调有界数列必有极限,确界原理,闭区间套定理,有界无穷数列必有收敛子列,有限覆盖定理,cauchy收敛准则。 (2)了解六个定理之间的逻辑关系。 (3)掌握函数一致连续的概念。 (4)掌握闭区间上连续函数的性质,并会使用这些性质证明一些较简单的命题。 (5)熟悉闭区间上连续函数性质的证明过程。 第四章 导数与微分 1、函数导数的定义与求导公式。 2、求导法则: (1)四则运算法则,(2)复合函数求导法则。 (3)隐函数及参数分程表示的函数的求导法则。 3、高阶导数 4、微分及其运算 基本要求 (1)掌握导数,左、右导数的定义,会用左、右导数求导数或证明导数的存在。 (2)熟练掌握求导法则,会求导数,包含高阶导数。 (3)理解导数与微分之间的关系,会求微分。 第五章 微分学基本定理及导数应用 1、中值定理。2、泰勒公式。 3、函数的单调性,凸性,极值。 4、L’Hospital法则。 基本要求: (1)掌握三个中值定理的应用。 (2)熟悉泰勒公式及其余项的两种形式:拉格朗日余项和皮亚诺余项。 (3)会利用导数判断函数的单调性,凸性,求拐点。 (4)会求函数的极值,最值。 (5)会使用L’Hospital法则求极限。 第六章 不定积分 1、不定积分的概念与运算法则。 2、不定积分的计算。 基本要求: (1)熟练运用积分公式。 (2)掌握换元积分法,分部积分法。 (3)掌握有理函数积分法,简单有理函数和三角有理式的积分法。 第七章 定积分 1、定积分的概念。2、定积分的可积性。 3、定积分的性质。4、定积分的计算。 基本要求: (1)掌握定积分的定义。 (2)会运用定积分的性质,特别是变限函数性质的应用。 (3)会计算定积分(N——L公式,换元积分与分部积分等)。 第八章 定积分的应用 1、平面图形面积的计算。 2、曲线的孤长。 3、体积的计算:旋转体,截面面积已知。 4、旋转曲面的侧面积。 5、平均值。 下册 第九章 数项级数 1、上下极限的定义,性质,求法。数项级数的收敛性和基本性质。2、正项级数。 3、任意项级数。4、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。 基本要求: (1)掌握收敛级数的基本性质和Cauchy收敛准则。 (2)掌握一般项级数收敛的以下的判断法:收敛的充要条件,比较判断法,比值判别法,根式判别法,积分判别法,掌握交错级数收敛的判别法,任意级数转化为正项级数的判别法,掌握狄利克莱,阿贝尔判别法。 (4)掌握绝对收敛级数,条件收敛级数的性质。 第十章 反常积分 1、无穷限的反常积分。 2、无界函数的反常积分。 基本要求: (1)反常积分的计算。 (2)掌握反常积分收敛的判别法。 第十一章 函数项级数、幂级数 1、函数项级数的收敛和一致收敛。 2、幂级数的收敛区间,和函数。 3、将函数展成幂级数。 基本要求:(1)掌握函数项级数的一致收敛性的概念,会判断一致收敛。 (2)掌握一致收敛的函数项级数的三个分析性质:逐项微分、逐项积分、函数的连续性。 (3)会求幂级数的收敛半径,收敛区域。 (4)会求和函数以及将函数展成幂级数。 第十二章 傅里叶级数 1、函数展成Fourier级数。2、Fourier级数的收敛性。 基本要求: (1)会求周期为2T的函数的Fourier级数。 (2)会将定义于[O、T]的函数展成正弦级数或余弦级数。 (3)掌握函数f(x)的Fourier级数的收敛性定理。 第十三章 多元函数的极限与连续 1、平面点集。2、多元函数的极限。 3、多元函数的连续。 基本要求: (1)熟悉距离,邻域,聚点、内点、开集、闭集、区域的概念。 (2)了解平面点集连续性定理。 (3)掌握多元函数极限的概念(主要是二元函数的极限),熟悉重极限与累次极限的关系。 (4)熟悉多元函数连续的概念,掌握极限的运算法则,连续函数的局部性质。 (5)熟悉有界闭区域连续函数的性质。 第十四章 偏导数和全微分 1、偏导数和全微分的概念。 2、复合函数求偏导数的法则。 3、隐函数的求导法则。 4、空间曲线的切线与法平面方程。 5、空间曲面的切平面与法线方程。 6、方向导数与梯度。 基本要求: (1)会求偏导数。 (2)掌握隐函数(一个方程,两个方程)的求导法则。 (3)会求空间曲线的切线法平面方程。空间曲面的切面与法线方程。 (4)会求方向导数和梯度。 第十五章 极值和条件极值 1、极值与最值的求法。 2、条件极值的求法(拉格朗日乘子法)。 第十七章 含参变量的积分 第十八章 含参变量的反常积分 1、含参变量的定积分。 2、含参变量的无穷限积分。 3、含参变量的无界函数的积分。 基本要求: (1)掌握含参量定积分的分析性质。 (2)掌握含参变量反常积分的一致收敛性的概念,一致收敛性的判别法,魏尔斯特拉斯判别法。 (3)掌握一致收敛积分的分析性质,连续性、积分号下求导,积分号下积分。 第十九章 积分的定义与性质 基本要求: (1)掌握二重,三重积分,第一类曲线积分和曲面积分的定义。 (2)理解重积分的几何意义,第一类曲线积分和曲面积分的物理意义。 (3)掌握以上三种积分的性质。 第二十章 重积分的计算及应用 1、二重、三重积分化为累次积分法。 2、二重积分、三重积分的换元积分法。 基本要求: (1)掌握二重积分转化为累次积分的方法。 (2)掌握二重积分的极坐标变换,三重积分柱面坐标、球面坐标变换的积分法。 (3)掌握二重积分、三重积分的一般变换的积分方法。 第二十一章 曲线积分与曲面积分的计算 1、第一类曲线积分,曲面积分的计算。 2、第二类曲线积分的定义与计算。 3、第二类曲面积分的定义与计算。 4、两类曲线积分,两类曲面积分之间的关系。 第二十二章 各种积分之间的关系 1、格林公式。2、奥高公式。3、曲线积分与路径的关系。 基本要示: (1)掌握以上主要公式的应用。 (2)掌握曲线积分与路径的关系的条件。 四、参考书目 《数学分析》(上、下),欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋,高等教育出版社,2007年4月,第三版。 |
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