2022硕士研究生数学一考研大纲解析：线性代数考试特点分析

考研线性代数一共包含六章的内容：行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。考试题型分为选择、填空和解答，基本的工具有行列式、矩阵、秩、特征值与特征向量，可能出选择填空题的内容主要是行列式的计算、矩阵的秩、相关无关、解的判定、矩阵的特征值特征向量、矩阵的合同与相似、正定二次型的判定。其中2021年考到了行列式、秩、向量组的解、线性表出、正负惯性指数的内容。可能出解答题的内容，往年有(1)向量与方程组结合的题目，比如把判断相关无关及能否线性表出，转化为齐次或齐次线性方程组有解无解的问题;(2)向量、特征值与特征向量或二次型的题目，这部分题目往往计算量比较大。其中2021年数学一大题考到了二次型部分的正交矩阵和正定矩阵的内容。
考研线性代数的特点跟其他科目不同，具体如下：
(1)计算量比较大。考研线性代数的大题一般都有两问，像矩阵方程的求解、线性方程组解的通解、相似和相似对角化、二次型等，这些计算量都非常大，并且前面错一点后面就全错了。有些虽然只是简单的运算，但运算次数较多时，就很容易犯错，这是考试中经常失分的一个重要原因。

(2)公式定理多，概念抽象。考研线性代数内容多，概念多，公式定理多，而且内容比较抽象。比如关于矩阵，就有矩阵相似、矩阵等价、矩阵合同、正定矩阵、正交矩阵等。再有向量部分，相关无关的性质就有7条等。这些琐碎的知识点无形中增加了考生的记忆负担，复习中要多次背诵记忆。再有秩的相关概念，线性代数中几乎所有重要的定理都可以通过秩来表述，对秩的理解深度决定了整个线性代数的复习高度，但对于具体的矩阵求秩，可以通过初等行变换化阶梯型，根据阶梯型中非零行的个数来求;对于抽象型的，可以利用定义来求，也可以与向量结合，还可以由向量的相关性及向量组的秩来判定;还可以借助矩阵(方阵)非零特征值个数等方法来判定。所以学习秩，我们不仅要掌握本身的概念，也要把握好与其他知识点之间的联系，就对学生的能力提出了更高的要求。

(3)灵活度高。考研线性代数经常稍加改变条件就会导致整个解题方法全部发生变化，所以出题非常灵活多变。比如计算或讨论两个线性方程组公共解的问题，①如果两个线性方程组都是已知的，则将这两个线性方程组联立求解;②如果两个线性方程组其中一个已知，另一个线性方程组的通解是已知的，则可以将后一个线性方程组的通解直接代入前一个线性方程组，求出使得通解满足另一个线性方程组的条件;③如果两个线性方程组都只知道通解，则可以令两边的通解相等，求出使得两边通解相等时的条件。

(4)综合性强，考研线性代数的知识点之间联系是非常紧密的，因此很容易出综合性大题，经常一道题考几个章节的内容。比如2021数学一线性代数的解答题，就综合了特征值特征向量、正交相似对角化、矩阵乘法运算及正定矩阵的相关内容;

(5)推理证明

考研线性代数还会考察学生的逻辑推理能力，比如证明相关无关，但很多考生这方面的能力欠缺，不知道如何处理应用题和证明题，往往失分较多。考生要有意识得锻炼自己，总结证明题的出题规律，总结解题思路和解题方法，避免在考试中失分。
针对线性代数的考试特点，考生在备考时要注意一下几点：
(1)抓主线
线性代数内容看似杂乱，但实际“形散而神不散”。要想学好线性代数，一定要抓住主线——线性方程组，把各个章节的内容串起来。

(2)重基础
考研线性代数试题对基本概念、基本性质和基本方法都有考查。对于基本概念，要区分哪些了解即可，比如矩阵、向量的定义等，哪些会直接考查，比如基础解系、相关无关、矩阵相似、合同、二次型等。有些基本知识点是考生容易忽略的，像矩阵相似、矩阵等价及矩阵合同的判断，往往会忽略本身的定义，混淆概念。对于基本性质，要准确记忆，注意区分行列式的运算性质与矩阵运算性质的不同，有无正负号等问题。对于基本方法要有整体的认识，比如数值型和抽象型行列式计算方法，齐次非齐次线性方程组的求解等问题，要掌握基本求解方法，再加上一定的训练，就能实现稳定得分。

(3)勤加练习，重视计算
线性代数选择填空题一道题5分，分值增加，计算量也会适当加大，但总体难度不大，主要是把握好解题思路。在解答题中，计算量往往非常繁琐，一个是知识点综合性比较强，一个是计算步骤多，所以同学们要认真对待，在做题中训练自己的灵活解题能力和计算能力。
随着2022年考研数学大纲的发布，备考逐渐进入冲刺阶段。数学的学习是没有捷径的，经过暑假充电之后，大部分同学也能感受到线性代数的独特之处了。9月份要继续努力，不能松懈。复习过的知识点和重要题型，也要适当会看，温故而知新，为自己的未来拼搏一番。