2021北京师范大学812专业综合专业基础研究生考试大纲

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812  专业综合
硕士研究生招生考试大纲
高等代数（分值：85）
参考书：
《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出版社；
《高等代数学》第三版，姚慕生，吴泉水，谢启鸿。
一、总体要求
1．掌握基本的代数运算方法,包括：行列式的计算，矩阵运算（乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的判定及求解，多项式运算（带余除法，辗转相除法）.
2.掌握基本的代数分析技巧，包括：向量的线性相关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的结构,线性变换和矩阵的关系，方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型，多项式的整除性及因式分解.
3.掌握代数的基本几何背景，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间与酉空间，正交变换与正交矩阵, 酉变换与酉矩阵，对称变换与对称矩阵, 实对称矩阵的正交相似对角化，最小二乘解，对偶空间与双线性函数.
二、考试内容
第一部分 多项式
1.数域, 一元多项式的定义和基本运算；
2.多项式的带余除法，多项式整除性理论；
3.多项式的最大公因式，辗转相除法；
4.不可约多项式，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式；
5.多项式函数与多项式的根；
6.代数基本定理，复数域和实数域上多项式；
7.有理数域和整数环上的多项式，Eisenstein判别法；
8.多元多项式的概念及字典排列法，对称多项式及其基本定理.
第二部分 行列式
1.排列、n阶行列式的定义；
2.n阶行列式的性质和基本计算；
3.代数余子式、行列式按一行（列）展开；
4.克莱姆法则；
5.Laplace定理.
第三部分 线性方程组
1.线性方程组求解的消元法；
2.矩阵的秩，用矩阵的初等变换求秩；
3.线性方程组可解的判别法；
4.两个多项式的结式和多项式的判别式.
第四部分 矩阵
1.矩阵的线性运算、乘法及转置；
2.矩阵可逆的判定条件及性质，用初等变换求可逆矩阵的逆；
3.矩阵乘积的行列式与秩；
4.矩阵的分块及其运算技巧.
第五部分 向量空间
1.向量空间的定义和例子；
2.向量组的线性相关和线性无关性，向量组的极大无关组；
3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换公式；
4.子空间、子空间的交与和；
5.向量空间的同构及其性质；
6.矩阵的行秩和列秩，齐次线性方程组的解空间与基础解系.
第六部分 线性变换
1.线性映射和线性变换的定义及例子；
2.线性变换的运算和矩阵的关系；
3.线性变换的不变子空间及其性质；
4.方阵的特征值和特征向量；
5.可以对角化的矩阵；
6.极小多项式与Cayley-Hamilton定理;
7.向量空间的准素分解，矩阵的Jordan标准形；
8.矩阵的有理标准形.
第七部分 欧氏空间和酉空间
1.向量的内积和欧氏空间的定义；
2.规范正交基，Schmidt正交化方法；
3.正交变换与正交矩阵；
4.对称变换与对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化；
5.向量到子空间的距离，最小二乘解；
6.酉空间与酉变换.
第八部分 二次型
1.二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系；
2.复数域上的二次型及其典范形；
3.实数域上的二次型，惯性定律；
4.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的判定条件.
第九部分 双线性函数
1.线性函数与对偶空间；
2.双线性函数及其度量矩阵；
3.对称双线性函数，反对称双线性函数.